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== Einleitung ==
== Einleitung ==
Sie haben bestimmt schon gesagt oder gedacht: "Gold ist doch schwerer als Wachs".
Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da eine große Menge Wachs schwerer sein kann als ein kleines Stückchen Gold. Es kommt auch auf die "Menge" an, also auf das Volumen. Richtig ausgedrückt müsste man sagen: "Gold hat eine höhere Dichte als Wachs".


Sie haben bestimmt schon gesagt oder gedacht: "Gold ist doch schwerer als Wachs". Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da eine große Menge Wachs schwerer sein kann als ein kleines Stückchen Gold. Es kommt auch auf die "Menge" an, bzw. auf das Volumen.
== Dichte, das Verhältnis von Masse zu Volumen eines Körpers ==


Richtig ausgedrückt müsste man sagen: "Gold hat eine höhere Dichte als Wachs". Aber warum genau?
Körper (z.B. Brücken) können aus unterschiedlichen Stoffen bestehen, welche unterschiedliche Dichten haben. Zum Beispiel hat Aluminium eine Dichte von 2,7 g/cm³, Kupfer von 8,96 g/cm³ und reines Gold eine Dichte von 19,3 g/cm³.


== Dichte ==
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
Die Dichte ρ (Rho) eines Körpers ist das Verhältnis von Masse zu Volumen:


Die Dichte ρ (Rho) eines Körpers ist das Verhältnis von Masse zu Volumen.
<math>Dichte = \rho = \frac{m}{V} = \frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math>
</div>


Zum Beispiel hat Aluminium eine Dichte von 2,7 g/cm³, Kupfer von 8,96 g/cm³ und reines Gold eine Dichte von 19,3 g/cm³.


<math>Dichte = \rho  = \frac{m}{V} = \frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math>


=== Unterschiedliche Masse bei gleichem Volumen ===
Körper (z.B. Würfel) aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedlichen Dichten) können also trotz gleichem Volumen unterschiedliche Massen haben.


[[File:Dichte_Würfel.png|200px|rechts|mini|Würfel aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedliche Dichten) mit unterschiedlicher Masse aber selben Volumen]]


Körper aus einem bestimmten Stoff, wie z. B. eine NEM-Legierung, können eine beliebige Größe (Volumen) oder Masse besitzen, aber die Dichte eines Stoffes bleibt immer gleich.
Wenn die Dichte dreimal so hoch ist, muss die Masse auch dreimal so hoch sein, bei gleichbleibendem Volumen.  


<math> \text{Dichte} \uparrow = \frac{\text{Masse} \uparrow}{\text{Volumen}} </math>


'''Beispiel:'''
Eine höhere Dichte (Dichte ↑; anstelle Aluminium wird Kupfer verwendet) führt zu einer höheren Masse
(Masse ↑), bei gleichbleibendem Volumen. Die beiden Seiten der Gleichung müssen ausgeglichen sein.


Eine NEM-Inlay hat ein Gewicht von ca. 1 g und ein Volumen von ca. 0,115 cm<sup>3</sup>.  
Berechnungsbeispiel:
Wenn Alumiunium (Dichte 2,7 g/cm3) durch Kupfer (Dichte 8,96 g/cm3) ersetzt wird, dann ist das Verhältnis DichteKupfer/DichteAluminium= 8,96 / 2,7  = 3,3 bei gleichbleibendem Volumen. Da beide Seiten der Gleichung ausgeglichen sein müssen, muss die Masse auch 3,3 mal höher sein, bei gleichbleibendem Volumen.


Eine NEM-Krone hat ein Gewicht von ca. 4 g und ein Volumen von ca. 0,46 cm<sup>3</sup>.


Vervierfacht sich das gewicht, vervierfacht sich auch das Volumen. Die Dichte der NEM-Legierung und damit das Verhältnis von Masse zu Volumen bleibt immer bei 8,7 g/cm<sup>3</sup> und damit gleich.
=== Die Dichte in der Zahntechnik ===
[[File:Dichte_Wachs_Gold.png|200px|rechts|mini|Das Volumen der Wachskrone ist genauso groß wie das Volumen der Legierungskrone, aber die Massen unterscheiden sich]]
Schauen wir uns nun den Herstellungsprozess einer Brücke an und sehen, ob uns diese Informationen helfen:
Beim Gießen von Zahnersatz (z.B. Kronen, Brücken) wird die Wachsmodellation ausgebrannt und mit einer Legierung befüllt. Das Volumen der Wachsbrücke und der Legierungsbrücke bleibt aber gleich. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.


Das Verhältnis von Masse zu Volumen bleibt also gleich. Erhöht sich das Volumen, muss sich auch die Masse erhöhen und umgekehrt. Dies nennt man Proportionalität.
Wie bei den Würfeln wissen wir jetzt schon: Die Dichte der Legierung muss x-mal so groß sein wie die von Wachs. Obwohl beide Brücken das gleiche Volumen haben, muss die Legierungsbrücke x-mal so viel Masse haben wie die Wachsbrücke.  


'''Aber was, wenn wir das Volumen eines Stoffes mit einem anderen Stoff ausfüllen wollen?'''


Beim Gießen von Zahnersatz (Modellguss, Krone, Brücke, Inlay) wird der Stoff von Wachs zu einer Legierung geändert.
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
Das Volumen des Zahnersatzes bleibt aber gleich. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.
<math> Masse_{Legierungsbrücke} = x \times Masse_{Wachsbrücke} </math>
</div>


<gallery>
Dabei ist x ist das Verhältnis der Dichte der Legierung zur Dichte von Wachs.
File:Inlay_making_08_wikipedia.JPG| Volumen der Modellation
File:Inlay_making_18_wikipedia.JPG| Volumen der gegossenen Modellation
</gallery>


==== Berechnung der Legierungsmasse ====
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
Da die Dichte proportional zur Masse ist können wir den Dreisatz nutzen. Bei dem proportionalen Dreisatz kann ''„über Kreuz“'' gerechnet, das heißt, dass der Wert oben rechts mit dem Wert unten links multipliziert und dann durch den Wert oben links dividiert wird (8,7g/cm<sup>3</sup> * 4g / 1g/cm<sup>3</sup> = 17,4g). Das Ergebnis lautet 17,4 g.
<math> Masse_{Legierungsbrücke} = \left( \frac{Dichte_{Legierung}}{Dichte_{Wachs}} \right) \times Masse_{Wachsbrücke} </math>
{| class="wikitable"
</div>
|+Beispiel
!
!Wachs
!NEM-Legierung
|-
|'''Dichte'''
|1 g/cm<sup>3</sup>
|8,7 g/cm<sup>3</sup>
|-
|'''Masse'''
|4 g
|? g
|}


==== Berechnung der Legierungsmaterialkosten ====
Die Dichte der Legierung "Vielgoldium" kann der Legierungstabelle entnommen werden.
Mit bekannter Legierungsmasse können nun die erwarteten Legierungsmaterialkosten berechnen werden:
Wenn wir also die Dichte von Wachs und die Masse der Wachsbrücke bestimmen, können wir die Legierungsmasse berechnen.


'''Bestimmung der Dichte'''


<math>\text{Legierungsmaterialkosten} = Masse_{\text{Legierung}} \times \text{Preis}_{\text{Legierung}}</math>


mit Legierungsmaterialkosten in €, Masse in g und Preis in €/g.
Die Dichte kann durch Einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. Der Wert sollte bei etwa 1 g/cm3 liegen. Die Masse von Wachs können Sie mithilfe einer Waage bestimmen. Das Volumen von Wachs bestimmen Sie mithilfe eines Messzylinders mit Wasser (ml = cm3). Die Dichte der Legierung ist in der Legierungstabelle angegeben.


<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<math> Dichte_{\text{Wachs}} = \frac{Masse_{\text{Wachsbrücke}}}{Volumen_{\text{Wachsbrücke}}} </math>
</div>


'''Berechnung der Legierungsmaterialkosten'''


Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch wiegen des vom Gusskanal abgetrennten Zahnersatzes. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen.
Mit bekannter Legierungsmasse können nun die erwarteten Legierungsmaterialkosten berechnet werden:


=== Messung der Dichte bei Festkörpern ===
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
Die Dichte von Festkörpern kann bei einfachen Formen durch die ganzen Formeln berechnet werden, welche man im Matheuntertericht kennen gelernt hat. Die Dichte von komplizierten Festkörpern kann man folgendermaßen bestimmen:
<math>\text{Legierungsmaterialkosten} = Masse_{\text{Legierungbrücke}} \times \text{Preis}_{\text{Legierung}}</math>
</div>


==== Messung der Masse ====
mit Legierungsmaterialkosten in €, Masse in g und Preis in €/g.
Die Masse wird gewogen.
Hinweis: Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch Wiegen der vom Gusskanal abgetrennten Brücke. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen.


==== Einfache Messung des Volumens ====
'''Sprinterinhalte:'''
Um das Volumen zu bestimmen kann das Objekt in einen Messzylinder mit einer Flüssigkeit eingetaucht werden. Zunächst notiert man sich das Volumen der Flüssigkeit durch Ablesen (Volumen in ml vorher). Anschließend taucht man den Festkörper möglichst blasenfrei ein. Durch das eintauchen des Festkörpers wird Flüssigkeit verdrängt. Die verdängte Flüssigkeit steigt hoch und lässt sich ablesen (Volumen in ml nachher). Die Differenz (Differenz = Volumen in ml nachher - Volumen in ml vorher) ist das Volumen des Zahnersatzes. Beachten Sie: ml = cm<sup>3</sup>.


==== Messung des Volumens durch das archimedische Prinzip ====
Die Würfel stehen zum Versuch zur Verfügung. Probieren Sie es selbst aus.

Aktuelle Version vom 27. September 2023, 18:32 Uhr

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Einleitung

Sie haben bestimmt schon gesagt oder gedacht: "Gold ist doch schwerer als Wachs". Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da eine große Menge Wachs schwerer sein kann als ein kleines Stückchen Gold. Es kommt auch auf die "Menge" an, also auf das Volumen. Richtig ausgedrückt müsste man sagen: "Gold hat eine höhere Dichte als Wachs".


Dichte, das Verhältnis von Masse zu Volumen eines Körpers

Körper (z.B. Brücken) können aus unterschiedlichen Stoffen bestehen, welche unterschiedliche Dichten haben. Zum Beispiel hat Aluminium eine Dichte von 2,7 g/cm³, Kupfer von 8,96 g/cm³ und reines Gold eine Dichte von 19,3 g/cm³.

Die Dichte ρ (Rho) eines Körpers ist das Verhältnis von Masse zu Volumen:

[math]\displaystyle{ Dichte = \rho = \frac{m}{V} = \frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}} }[/math]

Zum Beispiel hat Aluminium eine Dichte von 2,7 g/cm³, Kupfer von 8,96 g/cm³ und reines Gold eine Dichte von 19,3 g/cm³.


Unterschiedliche Masse bei gleichem Volumen

Körper (z.B. Würfel) aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedlichen Dichten) können also trotz gleichem Volumen unterschiedliche Massen haben.

Würfel aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedliche Dichten) mit unterschiedlicher Masse aber selben Volumen

Wenn die Dichte dreimal so hoch ist, muss die Masse auch dreimal so hoch sein, bei gleichbleibendem Volumen.

[math]\displaystyle{ \text{Dichte} \uparrow = \frac{\text{Masse} \uparrow}{\text{Volumen}} }[/math]

Eine höhere Dichte (Dichte ↑; anstelle Aluminium wird Kupfer verwendet) führt zu einer höheren Masse (Masse ↑), bei gleichbleibendem Volumen. Die beiden Seiten der Gleichung müssen ausgeglichen sein.

Berechnungsbeispiel: Wenn Alumiunium (Dichte 2,7 g/cm3) durch Kupfer (Dichte 8,96 g/cm3) ersetzt wird, dann ist das Verhältnis DichteKupfer/DichteAluminium= 8,96 / 2,7 = 3,3 bei gleichbleibendem Volumen. Da beide Seiten der Gleichung ausgeglichen sein müssen, muss die Masse auch 3,3 mal höher sein, bei gleichbleibendem Volumen.


Die Dichte in der Zahntechnik

Das Volumen der Wachskrone ist genauso groß wie das Volumen der Legierungskrone, aber die Massen unterscheiden sich

Schauen wir uns nun den Herstellungsprozess einer Brücke an und sehen, ob uns diese Informationen helfen: Beim Gießen von Zahnersatz (z.B. Kronen, Brücken) wird die Wachsmodellation ausgebrannt und mit einer Legierung befüllt. Das Volumen der Wachsbrücke und der Legierungsbrücke bleibt aber gleich. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.

Wie bei den Würfeln wissen wir jetzt schon: Die Dichte der Legierung muss x-mal so groß sein wie die von Wachs. Obwohl beide Brücken das gleiche Volumen haben, muss die Legierungsbrücke x-mal so viel Masse haben wie die Wachsbrücke.


[math]\displaystyle{ Masse_{Legierungsbrücke} = x \times Masse_{Wachsbrücke} }[/math]

Dabei ist x ist das Verhältnis der Dichte der Legierung zur Dichte von Wachs.

[math]\displaystyle{ Masse_{Legierungsbrücke} = \left( \frac{Dichte_{Legierung}}{Dichte_{Wachs}} \right) \times Masse_{Wachsbrücke} }[/math]

Die Dichte der Legierung "Vielgoldium" kann der Legierungstabelle entnommen werden. Wenn wir also die Dichte von Wachs und die Masse der Wachsbrücke bestimmen, können wir die Legierungsmasse berechnen.

Bestimmung der Dichte


Die Dichte kann durch Einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. Der Wert sollte bei etwa 1 g/cm3 liegen. Die Masse von Wachs können Sie mithilfe einer Waage bestimmen. Das Volumen von Wachs bestimmen Sie mithilfe eines Messzylinders mit Wasser (ml = cm3). Die Dichte der Legierung ist in der Legierungstabelle angegeben.

[math]\displaystyle{ Dichte_{\text{Wachs}} = \frac{Masse_{\text{Wachsbrücke}}}{Volumen_{\text{Wachsbrücke}}} }[/math]

Berechnung der Legierungsmaterialkosten

Mit bekannter Legierungsmasse können nun die erwarteten Legierungsmaterialkosten berechnet werden:

[math]\displaystyle{ \text{Legierungsmaterialkosten} = Masse_{\text{Legierungbrücke}} \times \text{Preis}_{\text{Legierung}} }[/math]

mit Legierungsmaterialkosten in €, Masse in g und Preis in €/g. Hinweis: Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch Wiegen der vom Gusskanal abgetrennten Brücke. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen.

Sprinterinhalte:

Die Würfel stehen zum Versuch zur Verfügung. Probieren Sie es selbst aus.

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