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| Wenn wir also die Dichte von Wachs und die Masse der Wachsbrücke bestimmen, können wir die Legierungsmasse berechnen. | | Wenn wir also die Dichte von Wachs und die Masse der Wachsbrücke bestimmen, können wir die Legierungsmasse berechnen. |
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| Die Dichte kann durch einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. Der Wert sollte bei etwa 1 g/cm<sup>3</sup> liegen. Die Masse können sie mithilfe einer Waage bestimmen. Das Volumen mithilfe eines Messzylinders mit Wasser. | | Die Dichte kann durch einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. Der Wert sollte bei etwa 1 g/cm<sup>3</sup> liegen. |
| | Die Masse von Wachs können sie mithilfe einer Waage bestimmen. Das Volumen von Wachs mithilfe eines Messzylinders mit Wasser. Die Dichte der Legierung ist immer in der Legierungstabelle angegeben. |
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;"> | | <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;"> |
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| '''Hinweis:''' Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch wiegen der vom Gusskanal abgetrennten Brücke. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen. | | '''Hinweis:''' Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch wiegen der vom Gusskanal abgetrennten Brücke. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen. |
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| | Sprinterinhalte: |
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| | | Die Würfel und Zylinder stehen zum Versuch zur Verfügung. Probieren Sie es selbst aus. |
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| Die Dichte der Wachsbrücke können wir also bestimmen. Die Dichte der Legierung können wir aus der Legierungstabelle entnehmen. Die Dichte kann durch einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. | |
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math> \textcolor{green}{Dichte}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}} = \frac{\textcolor{green}{Masse}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}}}{\textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}}} </math>
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| </div>
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math> \textcolor{green}{Dichte}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}} = \frac{\textcolor{red}{Masse}_{\textcolor{red}{\text{Legierungsbrücke}}}}{\textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}}} </math>
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| </div>
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| da die Volumen gleich sind können links nach Volumen umstellen und rechts zur gesuchten Legierung und erhalten
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math> \textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}} = \frac{\textcolor{green}{Masse}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}}}{\textcolor{green}{Dichte}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}}} </math>
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| </div>
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math> \textcolor{red}{Masse}_{\textcolor{red}{\text{Legierungsbrücke}}} = \textcolor{green}{Dichte}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}} \times \textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}} </math>
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| </div>
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| einsetzen der linken Gleichung in die rechte Gleichung, da Volumen_Wachsbrücke = Volumen_Legierungsbrücke:
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| Da beide Materialien (Wachs und Legierung) den gleichen Raum einnehmen (gleiches Volumen), aber die Legierung eine viel höhere Dichte hat, muss sie viel "schwerer" (mehr Masse) sein als das Wachs.
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math> Masse_{Legierung} = \left( \frac{\rho_{Legierung}}{\rho_{Wachs}} \right) \times m_{Wachs} </math>
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| </div>
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| ==== Berechnung der Legierungsmasse ====
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| [[File:Dichte Wachsmodellation_Dichte_NEM-Legierung.png|200px|rechts|mini|Volumen und Masse der gleichen Krone als Wachsmodellation und gegossen mit einer NEM-Legierung]]
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| Da beide Materialien (Wachs und Legierung) den gleichen Raum einnehmen (gleiches Volumen), aber die Legierung eine viel höhere Dichte hat, muss sie viel "schwerer" sein als das Wachs.
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| '''Beispiel:''' Angenommen die Dichte von Wachs ist 1 g/cm<sup>3</sup> und die Dichte einer NEM-Legierung ist 8,7 g/cm<sup>3</sup>. Die Dichte der NEM-Legierung ist dann 8,7 mal zu höher als die Dichte der Wachsmodellation. Da das Volumengleich groß ist, muss die Masse auch 8,7 mal höher sein.
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math> Masse_{Legierung} = \left( \frac{\rho_{Legierung}}{\rho_{Wachs}} \right) \times m_{Wachs} </math>
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| </div>
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| '''Hinweis:''' Die Legierungsmasse könnte auch direkt über das Volumen der Wachsmodellation bestimmt werden, das Volumen lässt sich allerdings nicht so genau bestimmen und man müsste jedesmal umständlich das Volumen bestimmen anstelle einfach das Gewicht zu bestimmen.
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| ==== Berechnung der Legierungsmaterialkosten ====
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| Mit bekannter Legierungsmasse können nun die erwarteten Legierungsmaterialkosten berechnen werden:
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math>\text{Legierungsmaterialkosten} = Masse_{\text{Legierung}} \times \text{Preis}_{\text{Legierung}}</math>
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| </div>
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| mit Legierungsmaterialkosten in €, Masse in g und Preis in €/g.
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| '''Hinweis:''' Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch wiegen des vom Gusskanal abgetrennten Zahnersatzes. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen.
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| === Messung der Masse und des Volumens bei Festkörpern ===
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| Das Volumen von Festkörpern kann bei einfachen Formen durch die gängigen Formeln berechnet werden, welche Sie im Matheunterricht kennen gelernt haben (z.B. bei Würfeln, Kugeln, Zylindern). Das Volumen von komplizierten Festkörpern (z.B. Brücken) kann man folgendermaßen bestimmen:
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| ==== Messung der Masse ====
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| Die Masse wird gewogen (s. Zusammensetzung Massenanteil).
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| ==== Einfache Messung des Volumens ====
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| [[File:Messung_Volumen_einfach.png|200px|rechts|]]
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| Um das Volumen eines Objekts zu bestimmen, kann man es in einen Messzylinder mit Flüssigkeit eintauchen. Man notiert das Anfangsvolumen der Flüssigkeit. Nach dem möglichst blasenfreien Eintauchen des ganzen Objekts misst man das verdrängte Volumen. Die Differenz dieser beiden Messungen gibt das Volumen des Objekts an. Beachten Sie: ml = cm<sup>3</sup>.
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| Volumen der Wachsmodellation = Wasserstand nach dem Eintauchen - Wasserstand vor dem Eintauchen
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| </div>
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| <!-- <math> \text{Volumen der Wachsmodellation} = \text{Volumen von Wasser nach dem Eintauchen der Wachsmodellation} - \text{Volumen von Wasser vor dem Eintauchen der Wachsmodellation} </math> -->
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| <!-- ==== Messung des Volumens durch das archimedische Prinzip ====
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| to do
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| ==== Dichte berechnen ====
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| Die Dichte kann durch einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. Der Wert sollte in der nähe von 1 g/cm<sup>3</sup> liegen.
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math> \rho_{\text{Wachs}} = \frac{m_{\text{Wachs}}}{V_{\text{Wachsmodellation}}} </math>
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| </div>
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| Anschließend müssen Sie wieder zurück zur Berechnung der Legierungsmasse und dann können Sie die Legierungsmaterialkosten berechnen.
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| -->
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| <!--
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| <gallery>
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| File:Inlay_making_08_wikipedia.JPG| Wachsmodellation
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| File:Inlay_making_18_wikipedia.JPG| Gegossene Modellation
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| File:Dentalgold_Wikipedia.jpeg|Plättchen Edelmetalllegierung
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| </gallery>
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| -->
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| <!--
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| '''Beispiel:'''
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| Eine kleines NEM-Inlay hat ein Gewicht von ca. 1 g und ein Volumen von ca. 0,115 cm<sup>3</sup>.
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| Eine größere NEM-Krone hat ein Gewicht von ca. 4 g und ein Volumen von ca. 0,46 cm<sup>3</sup>.
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| Vervierfacht sich das Gewicht, vervierfacht sich auch das Volumen. Die Dichte der NEM-Legierung und damit das Verhältnis von Masse zu Volumen bleibt immer bei 8,7 g/cm<sup>3</sup> und damit gleich.
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| Das Verhältnis von Masse zu Volumen bei einem Stoff bleibt also gleich. Erhöht sich die Masse, muss sich auch das Volumen erhöhen und umgekehrt. Die Erhöhung des einen Wertes führt zu einer Erhöhung eines anderen Wertes, dies nennt man Proportionalität.
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| '''Frage:''' Aber was, wenn wir das Volumen eines Stoffes (Wachsmodellation) mit einem anderen Stoff (Legierung) ausfüllen wollen?
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| -->
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| Formel Legierungsmaterialkosten
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| Legierungsmaterialkosten = Preis in €/g mal Legierungsmasse in g
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| Preis steht in der Legierungstabelle. Legierungsmasse ist unbekannt.
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| Legierungsmasse kann über einen Dreisatz bestimmt werden, wenn die Masse der Wachsmodellation bekannt ist und man die Dichte kennt.
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| Die Dichte kann durch Messung der Wachsmodellationmasse und Messung des Wachsmodellationsvolumens bestimmt werden.
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| Hinweis: Es würde auch über das Volumen der Wachsmodellation gehen, das Volumen lässt sich allerdings nicht so genau bestimmen und man müsste jedesmal umständlich das Volumen bestimmen anstelle einfach das Gewicht zu bestimmen.
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| Sie haben bestimmt schon gesagt oder gedacht: "Gold ist doch schwerer als Wachs".
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| Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da eine große Menge Wachs schwerer sein kann als ein kleines Stückchen Gold. Es kommt auch auf die "Menge" an, bzw. auf das Volumen. Richtig ausgedrückt müsste man sagen: "Gold hat eine höhere Dichte als Wachs". Aber warum genau?
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| -->
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| Körper (z.B. Kronen) aus einem bestimmten Stoff (z.B. Gold), können eine beliebige Größe (Volumen) oder Masse besitzen, aber die Dichte (das Verhältnis von Masse zu Volumen) eines Stoffes bleibt immer gleich.
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| -->
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| Bei dem proportionalen Dreisatz kann ''„über Kreuz“'' gerechnet, das heißt, dass der Wert oben rechts mit dem Wert unten links multipliziert und dann durch den Wert oben links dividiert wird (8,7g/cm<sup>3</sup> * 4g / 1g/cm<sup>3</sup> = 17,4g). Das Ergebnis lautet 17,4 g.
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| {| class="wikitable"
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| |+Beispiel mit einer NEM-Legierung
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| !
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| !Wachs
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| !NEM-Legierung
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| |-
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| |'''Dichte'''
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| |1 g/cm<sup>3</sup>
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| |8,7 g/cm<sup>3</sup>
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| |-
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| |'''Masse'''
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| |4 g
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| |'''17,4 g'''
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| |}
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| </div>
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| == Einleitung ==
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| 1. Dichte
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| 1.1 Würfel gleicher größe, unterschiedliches Gewicht
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| 1.2 Zylinder unterschiedlicher Größe, gleiches Gewicht
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| 1.3 Verhältnis Masse/Volumen bleibt gleich
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| 2. Legierungsmaterialkosten ermitteln
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| 2.1 Prozess erklären, Volumen_Wachs=Volumen_Legierung
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| 2.2 Wenn die Dichte der Legierung x mal höher ist, muss bei gleichem Volumen x mal mehr Masse genutzt werden
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| 2.2 Formel Masse_Legierung
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| 2.3
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| Die Legierungsmaterialkosten berechnet man wie folgt:
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math>\text{Legierungsmaterialkosten} = \textcolor{red}{Masse}_{\textcolor{red}{\text{Legierungsbrücke}}} \times \textcolor{green}{\text{Preis}}_{\textcolor{green}{\text{Legierung}}}</math>
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| </div>
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| <span style="color:green">Grün</span>: Der Preis in €/cm<sup>3</sup> steht in der Legierungstabelle.
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| <span style="color:red">Rot</span>: Die Legierungsmasse in g ist unbekannt.
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| === Prozess des Gießens in der Zahntechnik ===
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| Beim Gießen von Zahnersatz (z.B. Kronen, Brücken, Inlays) wird die Wachsmodellation ausgebrannt und mit einer Legierung befüllt. '''Das Volumen der Wachsbrücke und der Legierungsbrücke bleibt aber gleich'''. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.
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| --- Gallery Gefräste Wachsmodellation, Angestifte Wachsmodellation, Einbetten, Wachs ausbrennen, Gießen, Ausbetten, abgetrennter Guss
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| --- Skizze eingebette Wachsbrücke --- Skizze gegossene Wachsbrücke
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| Das Volumen können wir mithilfe eines Messzylinders bestimmen. Die Masse können wir mit einer Waage bestimmen.
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| <div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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| <math>\textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}} = \textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}}</math>
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| <math>\textcolor{green}{Masse}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}} \neq \textcolor{red}{Masse}_{\textcolor{red}{\text{Legierungsbrücke}}}</math>
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| </div>
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Link zur übergeordneten Seite
Einleitung
Sie haben bestimmt schon gesagt oder gedacht: "Gold ist doch schwerer als Wachs".
Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da eine große Menge Wachs schwerer sein kann als ein kleines Stückchen Gold. Es kommt auch auf die "Menge" an, bzw. auf das Volumen. Richtig ausgedrückt müsste man sagen: "Gold hat eine höhere Dichte als Wachs".
Dichte, das Verhältnis von Masse zu Volumen eines Körpers
Körper (z.B. Brücken) bestehen aus einem bestimmten Stoff (z.B. Wachs, Gold) welche immer das gleiche Verhältnis zueinander haben. Dieses Verhältnis ist die Dichte:
Die Dichte ρ (Rho) eines Körpers ist das Verhältnis von Masse zu Volumen:
[math]\displaystyle{ Dichte = \rho = \frac{m}{V} = \frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}} }[/math]
Zylinder aus unterschiedlichen Stoffen können unterschiedliche Volumen haben, obwohl sie die selbe Masse haben.
--- Skizze Zylinder
--- Formel mit Dichte runter, Masse gleich/Volumen hoch
--> Ein niedrigere Dichte führt zu einem höheren Volumen, bei gleichbleibender Masse.
Würfel aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedlichen Dichten) können trotz gleichem Volumen unterschiedliche Massen haben
--- Bild Würfel
--- Formel mit Dichte hoch, Masse hoch/Volumen gleich
--> Eine höhere Dichte führt zu einer höheren Masse, bei gleichbleibenden Volumen.
--> Wenn die Dichte doppelt so hoch ist muss die Masse auch doppelt so hoch sein, bei gleichbleibenden Volumen.
Beispiel:
Die Dichte von Aluminium beträgt ungefähr 2,7 g/cm³ und die von Kupfer etwa 8,96 g/cm³.
--> Wenn Sie den Aluminiumwürfel wiegen, hat er eine Masse von 2,7 g (weil 1 cm³ Aluminium 2,7 g wiegt).
--> Wenn Sie den Kupferwürfel wiegen, hat er eine Masse von 8,96 g (weil 1 cm³ Kupfer 8,96 g wiegt).
Die Dichte von Kupfer ist ca. 3 Mal so groß wie die von Aluminium. Das bedeutet, dass, obwohl beide Würfel das gleiche Volumen haben, der Kupferwürfel ca. 3 Mal so schwer ist wie der Aluminiumwürfel.
Die Dichte in der Zahntechnik
Schauen wir uns nun den Herstellungsprozess einer Brücke an und sehen ob uns diese Informationen helfen:
Beim Gießen von Zahnersatz (z.B. Kronen, Brücken, Inlays) wird die Wachsmodellation ausgebrannt und mit einer Legierung befüllt. Das Volumen der Wachsbrücke und der Legierungsbrücke bleibt aber gleich. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.
--- Skizze eingebette Wachsbrücke --- Skizze gegossene Wachsbrücke
Wie bei den Würfeln wissen wir jetzt schon:
Die Dichte der Legierung muss x mal höher ist als die Dichte des Wachses, da die Legierungsbrücke bei gleichem Volumen eine höhere Masse hat. x ist das Verhältnis der größeren Dichte zur kleineren Dichte.
[math]\displaystyle{ Masse_{Legierung} = \left( \frac{Dichte_{Legierung}}{Dichte_{Wachs}} \right) \times m_{Wachs} }[/math]
Wenn wir also die Dichte von Wachs und die Masse der Wachsbrücke bestimmen, können wir die Legierungsmasse berechnen.
Die Dichte kann durch einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. Der Wert sollte bei etwa 1 g/cm3 liegen.
Die Masse von Wachs können sie mithilfe einer Waage bestimmen. Das Volumen von Wachs mithilfe eines Messzylinders mit Wasser. Die Dichte der Legierung ist immer in der Legierungstabelle angegeben.
[math]\displaystyle{ Dichte_{\text{Wachs}} = \frac{Masse_{\text{Wachs}}}{Voluimen_{\text{Wachsmodellation}}} }[/math]
Hinweis: Wenn die Dichte des Objekts kleiner ist als die Dichte der Flüssigkeit (für Wasser 1g/cm3), dann treibt das Objekt nach oben bzw. "auf", daher kommt der Begriff "Auftrieb" (FunFact ;-)).
Hinweis 2: ml = cm3
Mit bekannter Legierungsmasse können nun die erwarteten Legierungsmaterialkosten berechnen werden:
[math]\displaystyle{ \text{Legierungsmaterialkosten} = Masse_{\text{Legierung}} \times \text{Preis}_{\text{Legierung}} }[/math]
mit Legierungsmaterialkosten in €, Masse in g und Preis in €/g.
Hinweis: Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch wiegen der vom Gusskanal abgetrennten Brücke. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen.
Sprinterinhalte:
Die Würfel und Zylinder stehen zum Versuch zur Verfügung. Probieren Sie es selbst aus.